Краевая задача типа Трикоми в неограниченной области

Вагапов Винер Зуфарович

В данной работе в специальном классе доказано существование и единственность решения краевой задачи типа Трикоми для одного уравнения смешанного типа в неограниченной области. В области эллиптичности уравнения методом функции Грина решена вспомогательная задача Хольмгрена, в области гиперболичности уравнения – задача типа Дарбу. Причём, для получения решения задачи типа Дарбу вначале в характеристическом треугольнике методом функции Римана – Адамара, впервые предложенным профессором С.П. Пулькиным, была решена задача Дарбу, а потом в построенном решении одна из характеристик была устремлена в бесконечность. Сшивая решения этих вспомогательных задач по функции и по нормальной производной на линии изменения типа уравнения, задача типа Трикоми сведена к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана – Векуа однозначно редуцировано к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из соответствующей теоремы единственности решения. Единственность решения исследуемой задачи доказана с помощью принципа локального экстремума. Отметим, что постановка этой задачи исходит из известных работ М.С. Келдыша, И.Л. Кароля.

Ключевые слова: задача типа Трикоми; неограниченная область; задача Хольмгрена; задача Дарбу; сингулярное интегральное уравнение; метод Карлемана – Векуа.