АНАЛИЗ СЛОЖНОСТИ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ КВАНТОВЫХ НЕЙРОСЕТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕНЗОРНЫХ СЕТЕЙ

Ежицкая Дарья Дмитриевна

В данной работе проводится всесторонний анализ вычислительной сложности алгоритмов, лежащих в основе квантовых нейросетей (КНС), с привлечением аппарата тензорных сетей (ТС). КНС представляют собой перспективный гибридный подход, объединяющий принципы квантовых вычислений и машинного обучения, однако их теоретическое обоснование и понимание областей превосходства над классическими аналогами остаются недостаточно разработанными. Мы демонстрируем, что тензорные сети, являясь мощным инструментом для компактного представления многокубитных квантовых состояний, предоставляют естественный и эффективный формализм для анализа выразительной способности и сложности обучения КНС. В работе формализована связь между архитектурами КНС и конкретными типами ТС (такими как матричные продуктные состояния – MPS, древовидные тензорные сети – TTN). На этой основе проведен детальный анализ емкостных характеристик и вычислительной сложности операций прямого и обратного распространения для различных топологий КНС. Показано, что ключевым параметром, определяющим сложность, является так называемая «связность» квантовой схемы, которая напрямую соотносится с максимальной связностью соответствующей ТС. Теоретически и численно обосновано, что КНС, соответствующие ТС с ограниченной связностью (например, MPS), могут быть эффективно симулированы на классических компьютерах, что сужает потенциальный круг задач, где можно ожидать квантового превосходства. В то же время, выявлен класс задач, связанных с моделированием сильно запутанных квантовых систем или решением определенных оптимизационных проблем, где КНС со средней связностью демонстрируют теоретическое преимущество перед классическими глубокими сетями. Результаты работы позволяют сформулировать критерии для проектирования эффективных КНС и выделить перспективные направления для достижения практического квантового превосходства в машинном обучении.

Ключевые слова:квантовые нейросети, тензорные сети, матричные продуктные состояния, вычислительная сложность, квантовое машинное обучение, выразительная способность, связность, квантовое превосходство.